春雨じゃ、濡れてまいろう。

3月1日、久しぶりに雨が降りました。

風がないとして（雨が上空から垂直に降ってくるとして）、雨の中ではどのくらいの速さで歩くのが（あるいは走るのが）いいんでしょう。速く走ると体の前面に雨を受けるけど、雨の中にいる時間は短くなる。ゆっくり歩くと、雨の中にいる時間は長くなるけど、雨を受けるのは頭の上と肩の辺りだけになる。

ということで、底面がa×aの正方形、高さがhの角柱が、距離dを速度Vで移動する時、どのくらい雨に濡れるか計算してみた。雨は速度vで上空から垂直に降ってくるとして。

で、途中の計算は置いといて、浴びてしまう雨の量をWとすると、

W=vd(a^2/V+vh)

になるような気がする。あとはExcelでも使って、変数に適当な値を入れて計算してみればいいんだけど、この式を見てるだけで分かる。

走る方が濡れないし、歩く速さVが0の時はWは無限大になる。そりゃそうだ。

予言者とマラウィの大統領と確率の話。

ナイジェリアで人気の予言者（本当は伝道師、説教師なんでしょうが、予言で有名）のT.B.ジョシュアという人が、「60日以内にアフリカの指導者が死ぬ」と予言したのが先々月の2月。誰が死ぬんだろうと話題になり、ワッド・セネガル大統領（85歳。こないだ落選して前大統領になりました）、ムガベ・ジンバブエ大統領（88歳）、キバキ・ケニア大統領（81歳）などの名前が取りざたされました。現職の元首じゃないですが、その死を語ることがほとんどタブーなっているマンデラ元南アフリカ大統領（93歳）、ノーベル平和賞を受賞したツツ司教（81歳）など、他にもアフリカには高齢の指導者が多いです。

そのT.B.ジョシュアが、「死ぬのはムガベ・ジンバブエ大統領ではない」と示唆したのが先週。そして昨日（4月5日）、マラウィのムタリカ大統領が心臓発作で急死していたのが明らかになりました。享年78歳。これでまたT.B.ジョシュアの人気が上がるのは間違いなしだと思います。

人の死を喜ぶのは趣味じゃないですけど、最近マラウィは旧宗主国英国との対立姿勢を強め、インフレ、燃料不足が激しくなるなど「ジンバブエ化」が進み始めていたので、大統領の死は政策の方向転換をする機会になるかもしれません。

＊　　　＊　　　＊

まあしかし、アフリカには高齢の指導者が大勢いるので、「アフリカの指導者が死ぬ」という予言は的中し易いはずですよ。アフリカ大陸には54カ国あるので、少なくとも国家元首は54人いる。で、元大統領、宗教指導者、ノーベル賞受賞者とか、「指導者」と呼べる人はそれ以上いるわけです。

それで、フェルミ推定よろしく、仮に「指導者」が100人いるとしましょう。そしてアフリカの人々の平均寿命を50才と仮定しましょう。平均寿命50才というのは、無作為抽出した50人を1年間観察していれば1人は死ぬだろう、と言っているのと同じです。「指導者」たちは無作為抽出した人々よりも高い健康管理を受けている可能性が高いとはいえ、他方、高齢の人も多いので、まあ、そのまま50才という値を使ってもそうおかしくはないでしょう。

そうすると、指導者が100人いれば確率的には1年間に2人くらい死ぬのが当たり前、ということです。200人だとすれば3ヶ月に1人。

ということで、T.B.ジョシュアの「60日以内にアフリカの指導者が死ぬ」という予言は確率的に結構的中する可能性の高そうな予言です。

・・・という理屈をこねても、彼の信者たちには聞こえないんでしょうけどね。

ランダム再生で音楽を聴く。

今日は算数の話。

twitterでフォローしている人が、「1曲の長さが5分の曲がライブラリに1000曲あるとして、ランダム再生で一度も再生されてない曲数が10曲以下になるまで何時間かかる？」というつぶやきを流したんですよね。

私もiPodでランダム再生で毎日音楽聴いてて、なんか同じ曲が何度も出てくるような気がするし、ぜんぜん出てこない曲もあるような気がするし、いったいホントにランダムなんだろうか、どれくらい聞いてればiPodに入ってる全曲を聴けるんだろうか、と思っていたところなので、この際マジメにこの問いを解いてみることにしたんですよ。幸い、私のiPodの中に入ってる曲も約1000曲だし。

で、せっかく解いたので、私の解法をメモっておきます。間違ってたらごめんなさい。

＊　　　＊　　　＊

簡略化のため、まず、10曲ライブラリをランダム再生して、9曲演奏されてしまうまでに何回再生すべきか、で考えてみる。

10曲を普通にn回ランダム再生した場合のパターンの数：10^n
10曲から9曲を選んでn回ランダム再生するパターンの数：C(10,9)*9^n

で、10^n > C(10,9)*9^n　になるnを求めればいい。メンドクサイので等式にして10^n = C(10,9)*9^nをnについて解く。

C(10, 9)=10なので、

（中略）

n=1/(1-log9)=21.85...

まあ、確率的には22回再生すれば9曲は出現する可能性が高い、ということになるのか。

で、これを「X曲のライブラリをランダム再生して、Y曲聴き終わるためにはn回再生する必要がある。」と一般化すると、

n=log(C(X,Y))/(logX-logY)

1000曲のライブラリで990曲聴き終わるためには、

n=log(C(1000,990))/(log1000-log990)=5365.79...

（ちなみに、C(X,Y)=X!/(Y!*(X-Y)!) ）

ということで、5366回くらい再生すれば、990曲は聴けると。
1曲5分とすれば、5分×5366=約18.63日。

ちなみに、1000曲全部聴こうと思ったら、要は999曲以上聴く、と考えればよいので、

n=log(C(1000,999))/(log1000-log999)=6904.3...

5分×6904.3...=23.97...日

連続24日間くらい聴いてれば、全曲聴ける可能性が高くなるんだね。そんなもんか。

・・・って、1000曲聴きたいのならば、ランダム再生せず素直に頭から順番にシークエンス再生すれば、1曲5分ならば1000曲は5000分、約3.472日あれば全部聴けるんですけどね。